行測數(shù)量關(guān)系解題方法
數(shù)學(xué)運(yùn)算之方陣問題的求解
方陣問題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一類常考題型，一些考生第一次碰到方陣問題的時(shí)候不會求解，為了幫助大家能夠快速地解決方陣問題，下面就來講一講方陣問題。
方陣問題可分為實(shí)心方陣和空心方陣，其實(shí)空心方陣可以理解為一個(gè)大的實(shí)心方陣中減去一個(gè)小的實(shí)心方陣，所以如果會解決實(shí)心方陣問題，那么空心方陣問題自然也能會解決。
先來了解一些實(shí)心方陣的常用公式。
一個(gè)人數(shù)為n×n的實(shí)心方陣：
1.方陣總?cè)藬?shù)=
。
2.方陣最外層人數(shù)=4n-4。
3.方陣相鄰層人數(shù)相差8(特殊情況：最里面一層人數(shù)為1時(shí)，與相鄰層相差7，其他情況相鄰層人數(shù)均相差8)。
【例題1】某次運(yùn)動會需組織長寬相等的方陣。組織方安排了一個(gè)鮮花方陣和一個(gè)彩旗方陣，兩個(gè)方陣分別入場完畢后又合成一個(gè)方陣，鮮花方陣的人恰好組成新方陣的最外圈。已知彩旗方陣比鮮花方陣多28人，則新方陣的總?cè)藬?shù)為( )。
A.100 B.144 C.196 D.256
【答案】A【解析】設(shè)彩旗方陣為n×n，則總?cè)藬?shù)為
、最外層人數(shù)4n-4，由于鮮花方陣的人恰好組成新方陣的最外圈，則鮮花方陣總?cè)藬?shù)為4n-4+8=4n+4，根據(jù)彩旗方陣比鮮花方陣多28人可得：
-(4n+4)=28，解得n=8或n=-4(不符合實(shí)際)，所以n=8，彩旗方陣總?cè)藬?shù)64，鮮花方陣總?cè)藬?shù)64-28=36，新方陣的總?cè)藬?shù)為64+36=100，故本題選A。
【例題2】有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是( )。
A.296 B.308 C.324 D.348
【答案】B【解析】題干描述為一個(gè)中空方陣，最外層有68，中間一層44，根據(jù)相鄰層人數(shù)相差8，68-44=24，所以最外層與中間層相差三層，也就是如果最外層是第一層，往里面數(shù)中間層是第四層，所以這個(gè)中空方陣一共有七層，且每一層人數(shù)構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，中空方陣總?cè)藬?shù)為44×7=308，故本題選B。
不定方程
數(shù)量關(guān)系是行測中的必考題型，難度相對較大。通常情況，拿到題目大家都習(xí)慣使用方程法進(jìn)行分析，方程法也確實(shí)是我們數(shù)量關(guān)系部分的重要方法。但有時(shí)候，方程可以列出來，但未知量的個(gè)數(shù)卻大于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)，沒有相應(yīng)的解題思路。那你可能是遇到了方程中的一類特殊類型——不定方程。那我們應(yīng)該如何快速解決這一問題呢？
首先我們需要知道什么是不定方程。不定方程是指方程的未知量的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)，分為兩種情況：在正整數(shù)范圍內(nèi)求解；在任意數(shù)范圍內(nèi)求解。接下來我們通過幾道例題進(jìn)行闡述。
【例題1】辦公室人員使用紅、藍(lán)兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個(gè)紅色文件袋可裝7份文件，每個(gè)藍(lán)色文件袋可裝4份文件。要使每個(gè)文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍(lán)色文件袋分別為幾個(gè)？（ ）
A.1、6 B.2、4 C.4、1 D.3、2
【答案】D【解析】假設(shè)紅色文件袋x個(gè)，藍(lán)色文件袋y個(gè)，使每個(gè)文件袋都恰好裝滿可得
。代入A、B、C選項(xiàng)都不符合，故選擇D選項(xiàng)。另解：因x、y只能為正整數(shù)，所以4y必為偶數(shù)，又因29為奇數(shù)，要使等式成立，7x必為奇數(shù)，即x為奇數(shù)，只有A、D符合。代入A選項(xiàng)，y不是整數(shù)，不符合題意，故本題選D。
因數(shù)量關(guān)系都是單選題，在沒有其它思路的情況下，最快的解題方法就是直接結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行代入求解。但部分題目通過代入較為麻煩，我們還可以用奇偶性進(jìn)行解題：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，利用此性質(zhì)進(jìn)行求解。
【例題2】小張的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的兩個(gè)乘積加起來剛好等于900。問孩子出生在哪一個(gè)季度？（ ）
A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度
【答案】D【解析】假設(shè)孩子出生月份為x，月份為y，易得29x+24y=900，得到x的值即可得知為第幾季度。一年有12個(gè)月，需要代入12次，顯然不大可取。故需要轉(zhuǎn)換思路，此題可以從數(shù)字特性上入手：29為質(zhì)數(shù)，只有1和29兩個(gè)因數(shù)，和900沒有非1公因數(shù)；24和900有公因數(shù)12，即24能被12整除，900也能被12整除，要使等式成立，29x也得能被12整除，x在1-12這個(gè)正整數(shù)范圍內(nèi)，只能取x=12。故本題選D。
“例題2”這道不定方程題目有真實(shí)的生活背景，月份，日期只能取整數(shù)，即在正整數(shù)范圍內(nèi)求解不定方程。用的是數(shù)字的整除特性，整除特性是用的較多的一種解決不定方程的數(shù)字特性。尾數(shù)法也能解決一些不定方程：某一未知量系數(shù)為5的倍數(shù)時(shí)，它的尾數(shù)只能為5或0，利用此特性來解決相應(yīng)的不定方程。
除了在正整數(shù)范圍內(nèi)求解不定方程，還有第二類題型：在任意數(shù)范圍內(nèi)求解不定方程。
【例題3】現(xiàn)有甲、乙、丙三種商品，若購買甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若購買甲2件、乙5件、丙11件共需350元。則購買甲、乙、丙各1件共需多少元。（ ）
A.50 B.100 C.150 D.200
【答案】B【解析】設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為x、y、z，易得
本題所求為x+y+z的和，觀察選項(xiàng)可知x+y+z為一個(gè)定值，即無論其中某個(gè)未知數(shù)如何取值，其他兩個(gè)未知數(shù)都有相對應(yīng)的解使x+y+z的和為此定值。觀察列式發(fā)現(xiàn)z的系數(shù)最大，不妨讓z=0，此時(shí)可得
解得x=50，y=50，即x+y+z=50+50+0=100，故本題選B。
“例題3”所求的x+y+z的和為一個(gè)定值，且對x、y、z并未有正整數(shù)的約束，屬于在任意數(shù)范圍內(nèi)求解不定方程。解決此類問題一般讓未知數(shù)系數(shù)最大的未知數(shù)為0，特值進(jìn)行求解。
關(guān)注性價(jià)比高
在行測考試中，數(shù)量關(guān)系一直是難度相對較大的部分。在數(shù)量關(guān)系中有沒有一些思路比較固定，用較少的時(shí)間復(fù)習(xí)，卻能有較大的收獲題目呢？那么下面給大家介紹幾種題型。
【排列組合之隔板模型】
(1)含義
相同元素的不同分堆：把n個(gè)相同元素分給m個(gè)不同的對象，每個(gè)對象至少1個(gè)元素，問有多少種不同分法的問題，可以采用“隔板法”。
(2)公式
方法數(shù)：
。
(3)條件
這類問題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：
①所要分的元素必須完全相同。
②所要分的元素必須分完，不允許有剩余。
③每個(gè)對象至少分到1個(gè)，不允許出現(xiàn)分不到元素的對象。
簡單應(yīng)用：題干滿足隔板模型的所有條件。
【例題1】有10個(gè)相同的籃球，分給7個(gè)不同的班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？（ ）
A.36 B.64 C.84 D.210
【答案】C【解析】此題滿足隔板模型的所有條件，直接套用公式
種分配方案。
【古典概率之定位法解題】
含義：當(dāng)遇到要同時(shí)考慮相互聯(lián)系的元素時(shí)，可以先將其中一個(gè)固定，再考慮其他元素的所有可能情況，從而進(jìn)行求解。
【例題2】一張紙上畫了5排共30個(gè)格子，每排格子數(shù)相同，小王將1個(gè)紅色和1個(gè)綠色棋子隨機(jī)放入任意一個(gè)格子(2個(gè)棋子不在同一格子)，則2個(gè)棋子在同一排的概率：（ ）
A.不高于15% B.15%～20% C.20% D.20%以上
【答案】B【解析】方法一，5排共有30個(gè)格子，每排格子數(shù)相同，則每排30÷5=6個(gè)格子。總事件是從30個(gè)格子中選取2個(gè)格子分別放入兩個(gè)顏色不同的棋子，樣本數(shù)為
，所求事件是2個(gè)棋子在同一排，則可以先選擇1排，再從這一排的6個(gè)格子中選取2個(gè)格子分別放入兩個(gè)顏色不同的棋子，分步相乘，樣本數(shù)為
。故所求概率為
故本題選B。
方法二，5排共有30個(gè)格子，每排格子數(shù)相同，則每排有30÷5=6個(gè)格子。先從30個(gè)格子中任選1個(gè)安排紅色棋子，此時(shí)還剩下29個(gè)空格子。若想2個(gè)棋子在同一排，則綠色棋子只能挑選紅色棋子所在排剩余5個(gè)格子中的一個(gè)，故2個(gè)棋子在同一排的概率為
故本題選B。
【行程問題之牛吃草模型】
含義：同一草場問題是在同一個(gè)草場上的不同牛數(shù)的幾種不同吃法，其中原有草量、每頭牛每天吃草量和草每天的生長數(shù)量，三個(gè)量是不變的。這種題型相對較為簡單，直接套用牛吃草問題公式即可進(jìn)行解答。
(1)追及：一個(gè)量使原有草量變大，一個(gè)量使原有草量變小
原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生長的草)×天數(shù)
【例題3】牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？
【答案】5【解析】牛在吃草，草在勻速生長，所以是牛吃草問題中的追及問題，原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生長的草)×天數(shù)，設(shè)每頭牛每天吃的草量為“1”，每天生長的草量為X，可供25頭牛吃T天，所以(10-X)×20=(15-X)×10=(25-X)×T，先求出X=5，再求得T=5。
(2)相遇：兩個(gè)量都使原有草量變小
原有草量=(牛每天吃掉的草+其他原因每天減少的草量)×天數(shù)
【例題4】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？（ ）
【答案】5【解析】牛在吃草，草在勻速減少，所以是牛吃草問題中的相遇問題，原有草量=(牛每天吃掉的草+每天減少的草)×天數(shù)，設(shè)每頭牛每天吃的草量為“1”，每天減少的草量為X，可供Y頭牛吃10天，所以(20+X)×5=(15+X)×6=(Y+X)×10，先求出X=10，再求得Y=5。
排列組合中的“三種方法”
“黑板上的排列組合你舍得解開嗎……”一聽到這句歌詞很多同學(xué)都在想，這是我舍不舍得的問題嗎？這是我會不會的問題啊！那么對于排列組合而言真的那么難嗎？作為數(shù)量關(guān)系板塊中的高頻考點(diǎn)，我們真的束手無策嗎？從最近幾年的試題來看，這部分的難度確有上升的趨勢，而且題型也越來越靈活，所以我們帶大家一起來學(xué)習(xí)排列組合中的三種小方法。
排列組合的核心：統(tǒng)計(jì)方法數(shù)
【例題1】甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人排成一列，其中甲不站在頭或尾的位置，共有多少種不同的排列方法？（ ）
A.24 B.36 C.72 D.96
【答案】C【解析】甲是這5個(gè)人里面有限制條件的元素，所以就優(yōu)先考慮甲。讓他站在除頭尾以外的中間的3個(gè)位置，有3種選擇；然后安排除甲以外的另外4個(gè)人，有
種方法。所以最終共有3×24=72種方法，故本題選C。
小結(jié)：優(yōu)限法：對于有限制條件的元素(或位置)的排列組合問題，在解題時(shí)優(yōu)先考慮這些元素(或位置)，再去解決其它元素(或位置)。
【例題2】由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位的個(gè)數(shù)：（ ）
A.459 B.720 C.920 D.4590
【答案】B【解析】因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)2、4、6必須相鄰，所以先將2、4、6三個(gè)數(shù)宇“捆綁”在一起有
種不同的“排列”方法，再將捆綁后的元素與1、3、5、7進(jìn)行全排列，有
種方法，根據(jù)乘法原理共有6×120=720種不同的排法，所以共有720個(gè)符合條件的七位數(shù)，故選擇B項(xiàng)。
小結(jié)：捆綁法：在解決對于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略。
【例題3】某學(xué)習(xí)平臺的學(xué)習(xí)內(nèi)容由觀看視頻、閱讀文章、收藏分享、論壇交流、考試答題五個(gè)部分組成。某學(xué)員要先后學(xué)習(xí)完這五個(gè)部分，若觀看視頻和閱讀文章不能連續(xù)進(jìn)行，則該學(xué)員學(xué)習(xí)順序的選擇有多少種？（ ）
A.96 B.72 C.24 D.120
【答案】B【解析】由題意可得，觀看視頻和閱讀文章不能連續(xù)進(jìn)行，故可以采用插空法，首先考慮另外三個(gè)元素，有
，這三個(gè)元素會形成4個(gè)空，然后從這4個(gè)空中選出2個(gè)安排觀看視頻和閱讀文章，則有
屬于分步過程，所以總的有6×12=72種，故本題選B。
小結(jié)：插空法：插空法就是先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙或兩端位置，從而將問題解決。
