行測(cè)數(shù)量關(guān)系指導(dǎo)
排列組合問(wèn)題“錯(cuò)位重排”
在行測(cè)考試當(dāng)中，很多考生覺(jué)得排列組合問(wèn)題比較復(fù)雜，但實(shí)際上在排列組合問(wèn)題當(dāng)中，有一類題目通過(guò)判斷題型加上記憶結(jié)論就可以選出答案。
【例題1】編號(hào)為A、B、C的三個(gè)信封分別裝有a、b、c三封信，現(xiàn)在要把三封信重新裝入信封，且都不能和開(kāi)始時(shí)的位置相同，問(wèn)共有幾種裝法？（ ）
A.2 B.6 C.9 D.12
【答案】A【解析】題目中要把3封信的位置重新分裝，且都不能在原來(lái)的信封中。由于元素較少，我們可以通過(guò)枚舉法來(lái)解決。
可以看到本題共有2種裝法。故本題選A。
上述題目當(dāng)中相當(dāng)于要把3個(gè)元素(信)的位置(信封)重新排列，使得每個(gè)元素都不在原來(lái)的位置上，這類題目我們稱之為“錯(cuò)位重排”。當(dāng)元素較少時(shí)我們可以通過(guò)枚舉法將所有結(jié)果羅列出來(lái)。但是當(dāng)元素過(guò)多時(shí)，情況比較復(fù)雜，再用枚舉法顯然不合適，所以需要我們熟記錯(cuò)位重排的常用數(shù)據(jù)以及遞推公式。
【題型特征】
把幾個(gè)元素的位置重新排列，使每個(gè)元素都不在它原來(lái)的位置上。
【遞推公式】
將n個(gè)元素的錯(cuò)位重排數(shù)記為
，則：
【例題2】某集團(tuán)企業(yè)5個(gè)分公司分別派出1人去集團(tuán)總部參加培訓(xùn)，培訓(xùn)后再將5人分配到這5個(gè)分公司，每個(gè)分公司只分配1人。問(wèn)5個(gè)參加培訓(xùn)的人中，有且僅有1人在培訓(xùn)后返回原分公司的情況有多少種？（ ）
A.42 B.43 C.44 D.45
【答案】D【解析】首先選出回到原來(lái)分公司的那個(gè)人，即5人中選1人，有5種情況；其次，剩下4人符合錯(cuò)位重排特征，共有9種情況；最后，兩步情況數(shù)相乘得5×9=45種情況。故本題選D。
小小正反比，解題大能量
正反比的含義為：對(duì)于存在M=A×B關(guān)系的題目，若M不變，A和B成反比；若A不變，M和B成正比；若B不變，M和A成正比。只要題干存在M=A×B的關(guān)系，并且能找到其中的不變量，就可以利用正反比來(lái)解題，接下來(lái)帶大家一起看兩道例題，感受一下正反比的魅力。
【例題1】空軍某部隊(duì)運(yùn)送救災(zāi)物資到災(zāi)區(qū)。原計(jì)劃飛機(jī)每分鐘飛行12千米，由于災(zāi)情嚴(yán)重，飛機(jī)速度提高到每分鐘15千米，結(jié)果比原計(jì)劃提前30分鐘到達(dá)目的地。則機(jī)場(chǎng)到災(zāi)區(qū)的距離是( )千米？
A.1600 B.1800 C.2050 D.2250
【答案】B【解析】本題為行程問(wèn)題，存在s=v×t，且由題可知兩種飛行方式路程s不變，那么v和t成反比，原計(jì)劃和實(shí)際速度比為12：15=4：5，則原計(jì)劃和實(shí)際時(shí)間比為5：4，說(shuō)明原計(jì)劃用5份時(shí)間，實(shí)際用4份時(shí)間，差1份時(shí)間，對(duì)應(yīng)題干的30分鐘，那么原計(jì)劃時(shí)間為5×30=150分鐘，實(shí)際時(shí)間為4×30=120分鐘。機(jī)場(chǎng)到災(zāi)區(qū)的距離為12×150=15×120=1800千米。故本題選B。
【例題2】某公司計(jì)劃采購(gòu)一批電腦，正好趕上促銷期，電腦打9折出售，同樣的預(yù)算可以比平時(shí)多買10臺(tái)電腦。問(wèn)該公司的預(yù)算在平時(shí)能買多少臺(tái)電腦？（ ）
A.60 B.70 C.80 D.90
【答案】D【解析】本題沒(méi)有太多的數(shù)據(jù)，第一眼看感覺(jué)好像不能做，但是仔細(xì)分析，存在關(guān)系：預(yù)算=單價(jià)×數(shù)量，根據(jù)題干可知預(yù)算不變，那么單價(jià)和數(shù)量成反比，原計(jì)劃和打折后單價(jià)之比為10：9，數(shù)量之比為反比，即9：10，也就是原計(jì)劃能買9份電腦，實(shí)際可買10份電腦，差1份電腦，對(duì)應(yīng)題中的10臺(tái)電腦，那么原來(lái)(平時(shí))能買9×10=90臺(tái)電腦。故本題選D。
以上就是兩道數(shù)量關(guān)系中正反比題目的展示，大家可以看出來(lái)知識(shí)點(diǎn)不是很難，只要我們能找M=A×B的關(guān)系以及不變量，就能夠利用正反比解決相關(guān)問(wèn)題。
解決最不利問(wèn)題需要“壞運(yùn)氣”
今天為大家介紹數(shù)量關(guān)系中一種常見(jiàn)題型：最不利原則。
【基礎(chǔ)理論】
1.題型特征
【例題】一個(gè)不透明的袋子當(dāng)中有4個(gè)黑球和4個(gè)白球，所有球除了顏色不同外，形狀和大小都相同。
(1)請(qǐng)問(wèn)至少要從袋子中拿出多少球可能有2個(gè)球的顏色不同？（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)請(qǐng)問(wèn)至少要從袋子中拿出多少球才能保證有2個(gè)球的顏色不同？（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
上面的例題當(dāng)中，我們的目的都是使2個(gè)球顏色不同，但是這里需要區(qū)分這兩種問(wèn)法的不同之處：問(wèn)題(1)的問(wèn)法是“可能”有2球顏色不同。我們不妨先拿出2個(gè)球，這兩個(gè)球顏色有可能是2黑，也可能是2白，也可能是1黑1白，也就是只用拿出2個(gè)球就可能出現(xiàn)顏色不同的情況了。
問(wèn)題(2)的問(wèn)法是“保證”有2球顏色不同。如果我們只拿出2個(gè)球，有可能是2黑，也可能是2白，也可能是1黑1白，不能保證有2球顏色不同的情況一定發(fā)生。我們?cè)倏紤]拿3個(gè)球的情況，有可能是3黑，也可能是2黑1白，也可能是1黑2白，也可能是3白，同樣不能保證有2球顏色不同的情況一定發(fā)生。我們接著考慮拿4個(gè)球的情況，有可能是4黑，也可能是3黑1白，也可能是2黑2白，也可能是1黑3白，也可能是4白，同樣不能保證有2球顏色不同的情況一定發(fā)生。我們?cè)倏紤]拿5個(gè)球的情況，有可能是4黑1白，也可能是3黑2白，也可能是2黑3白，也可能是1黑4白，這樣每種情況都有2個(gè)球的顏色不同，正好滿足題目要求。所以，至少要從袋子中拿出5個(gè)球才能保證有2個(gè)球的顏色不同。
而最不利原則問(wèn)題的典型問(wèn)法就是問(wèn)題(2)中的問(wèn)法，題干中往往會(huì)出現(xiàn)“至少……才能保證……”的類似表述，求要保證某件事發(fā)生的最少情況數(shù)，這就是最不利原則的題型特征。
2.解題原則
上面我們是用枚舉法找到滿足“保證有2個(gè)球的顏色不同”的最少拿球的數(shù)量，但是用枚舉法解決問(wèn)題會(huì)比較麻煩。
這里我們不妨分析出最不利的情況，也就是剛好不滿足題目要求的情況。題干要求有兩個(gè)球不同色，所以最不利情況就是摸出的球顏色都相同。我們假設(shè)從拿出第一個(gè)球開(kāi)始，后面拿出的球都是同色的，這樣直到拿出第四個(gè)球后，四個(gè)球都是同色的，此時(shí)仍然不滿足題目要求，這就是最不利的情況。而剩余的球都與拿出的4個(gè)球不同色，這樣再拿一個(gè)球就一定能保證有2個(gè)球的顏色不同了。
所以最不利問(wèn)題的解題思路就是：找到最不利的情況數(shù)，再加1就解決了問(wèn)題。
【例題1】一個(gè)盒子里裝有紅球5個(gè)、黃球9個(gè)、藍(lán)球12個(gè)，每次摸1個(gè)球放到盤子里，最少摸幾次，才能保證一定有6個(gè)是同色的？（ ）
A.16 B.17 C.19 D.21
【答案】A【解析】根據(jù)題干中“至少……才能保證”判定是最不利原則問(wèn)題。我們先找到最不利的情況數(shù)，要保證6個(gè)顏色相同，最不利的情況就是摸出的球最多都是5個(gè)同色，也就是紅球、黃球和藍(lán)球都先分別摸出5個(gè)球，這樣再摸出1個(gè)球就能保證有6個(gè)球是同色的。所以最少摸球的次數(shù)為：5×3+1=16次，故本題選A。
【例題2】從一副完整的撲克牌中，至少抽出幾張才能保證有三張相同花色？（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】C【解析】這道題要保證有三張花色相同，最不利的情況就是紅桃、黑桃、方塊和梅花這4種花色手里都分別有兩張相同花色，再抽出大小王兩張。那么再抽一張，就一定能保證和手里的某兩張湊成一樣花色的三張。所以最少抽牌的數(shù)量是：2×4+2+1=11張，故本題選C。
【例題3】梅花小區(qū)組織黨員參與“兩學(xué)一做”相關(guān)主題演講、征文、攝影、書法和繪畫五項(xiàng)比賽，要求每名黨員參加其中的兩項(xiàng)，無(wú)論怎么安排都發(fā)現(xiàn)至少有7名黨員參加的培訓(xùn)內(nèi)容完全相同，問(wèn)小區(qū)至少有幾名黨員？（ ）
A.50 B.51 C.60 D.61
【答案】D【解析】從五項(xiàng)比賽中選擇兩項(xiàng)，沒(méi)有順序要求，所有的培訓(xùn)內(nèi)容共
最不利的情況是每種培訓(xùn)內(nèi)容都有6名黨員參加，這樣我們?cè)偌?名黨員參加，就能保證至少有7名黨員參加的培訓(xùn)內(nèi)容完全相同。所以黨員人數(shù)最少有：10×6+1=61名，故本題選D。
學(xué)會(huì)隔板模型 解決“至少分一個(gè)”難題
今天分享給大家在排列組合問(wèn)題中十分常見(jiàn)的題型，即隔板模型。
在這里需要注意的是，此類隔板模型問(wèn)題就是將n個(gè)相同元素分給m個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少分得1個(gè)，且沒(méi)有剩余。則假設(shè)將n個(gè)元素一字排開(kāi)，中間產(chǎn)生出n-1個(gè)空，用m-1個(gè)木板放入n-1個(gè)空中，就是分配方法的總數(shù)，即共有
這類問(wèn)題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：
1.所要分的元素必須完全相同；
2.所要分的元素必須分完，決不允許有剩余；
3.每個(gè)對(duì)象至少分到1個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的對(duì)象。
一、簡(jiǎn)單應(yīng)用：題干滿足隔板模型的所有條件
【例題】公司采購(gòu)了一批同一型號(hào)的新電腦，總共11臺(tái)，計(jì)劃分給公司內(nèi)的4個(gè)部門，每個(gè)部門至少分得一臺(tái)，最終要將電腦分完，那么總共有多少種分配方法？（ ）
A.100 B.110 C.120 D.130
【答案】C【解析】這道排列組合題目中，同一型號(hào)電腦11臺(tái)，即對(duì)應(yīng)11個(gè)相同元素，分給公司4個(gè)部門即對(duì)應(yīng)分給4個(gè)不同的對(duì)象，要求分配完且每個(gè)部門至少分1臺(tái)，最終要分完，完全符合隔板模型，直接用公式得：
二、復(fù)雜應(yīng)用：題干不滿足模型的第3個(gè)條件，但是可以通過(guò)轉(zhuǎn)換使之滿足
【例題1】將15個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)量不得小于其自身的編號(hào)數(shù)字，且不得有剩余的小球。那么有多少種分配方法？（ ）
A.48 B.56 C.64 D.72
【答案】B【解析】這個(gè)排列組合問(wèn)題中，15個(gè)完全相同的小球即對(duì)應(yīng)15個(gè)相同的元素，編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子即對(duì)應(yīng)四個(gè)不同的對(duì)象，且要求不得有剩余，唯一不符合我們給出公式的條件是，不是每個(gè)盒子里至少放一個(gè)小球，而是每個(gè)盒子的小球數(shù)量不小于其自身的編號(hào)，即1號(hào)盒子至少放1個(gè)小球，2號(hào)盒子至少放2個(gè)小球，以此類推，所以我們需要將條件轉(zhuǎn)換。這里假設(shè)，1號(hào)盒子不動(dòng)，給2號(hào)盒子先放1個(gè)小球，3號(hào)盒子先放2個(gè)小球，4個(gè)盒子先放3個(gè)小球，那么此時(shí)還剩9個(gè)小球，并且4個(gè)盒子都至少仍需要放一個(gè)小球，則此時(shí)條件符合使用公式，即將剩下的9個(gè)小球放入4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，直接用公式得：
故本題選B。
【例題2】教師節(jié)當(dāng)天，某班級(jí)準(zhǔn)備了8捧相同的花，送給4位老師，要求隨意分，分完即可，共有多少種分配方法？（ ）
A.145 B.155 C.165 D.175
【答案】C【解析】這個(gè)排列組合問(wèn)題中，顯然8捧相同的花對(duì)應(yīng)條件中8個(gè)相同的元素，4位老師對(duì)應(yīng)4個(gè)不同的對(duì)象，分完即可表明沒(méi)有剩余，但隨意分意味著并不是每一位老師至少分得一捧花，有可能某老師并沒(méi)有分到花，所以此時(shí)我們?nèi)孕枰獙l件進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這里假設(shè)，這個(gè)班級(jí)又借來(lái)4捧花，現(xiàn)在就有12捧花，則此時(shí)如果按照每位老師至少分得1捧，最后再?gòu)拿课焕蠋熓种惺栈匾慌趸?，則既滿足我們公式的條件，又沒(méi)有改變分配結(jié)果。故相當(dāng)于求將12捧花分給4位老師，每位老師至少分得一捧的情況數(shù)，直接用公式求得：
故本題選C。
